Простий спосіб оцінки похідної емпіричної функції за її значеннями в нерівно відстаючих точках
Анотація
Бейгельзімер Е. Ю., Бейгельзімер Я. Ю. Простий спосіб оцінки похідної емпіричної функції за її значеннями в нерівно відстаючих точках
Запропоновано евристичну формулу 5-точкової апроксимації першої похідної невідомої функції, значення якої вимірено з похибкою в нерівно відстаючих точках. Розрахунок похідної в даній точці виконується за ефективними прирощеннями функції та аргументу, що враховують різні вагові коефіцієнти для ближніх і видалених точок вимірювань. Для визначення раціональних значень вагових коефіцієнтів застосовано імітаційне моделювання на тестових функціях із відомими похідними. Детально описані результати моделювання на двох тестових функціях, одна з яких імітує процес водяного охолодження гарячого сталевого листа, друга – складний коливальний процес із змінною частотою та амплітудою. Встановлено, що оптимальні значення вагових коефіцієнтів залишаються приблизно однаковими для суттєво різних функцій, що дозволяє рекомендувати одну й ту саму формулу для всіх випадків. На відміну від класичних методів чисельного диференціювання функцій, табульованих у нерівновіддалених вузлах, запропонована формула одночасно враховує згладжування емпіричних даних. Показано, що це суттєво підвищує точність чисельної оцінки похідної навіть у випадках, коли випадкова похибка вимірювання функції становить дуже малу величину, - від ± 1%. Отримана формула рекомендується до використання при вирішенні будь-яких задач ОМД, що вимагають оцінки похідної емпіричної функції, у тому числі при розрахунку напружено-деформованого стану металу, опису теплових процесів, визначенні теплофізичних властивостей матеріалів.
Посилання
Del G.D., Novikov N.A. Dividing grid method. Moscow: Mechanical engineering. 1979. 144 p. (in Russian).
Tu Sh., Ren X., He J., Zhang Zh. Stress–strain curves of metallic materials and post‐necking strain hardening characterization: A review. Fatigue Fract Eng Mater Struct. 2020. 43. pp. 3–19. https://doi.org/10.1111/ffe.13134
Klinzing W.P., Rozzi J.C., Mudawar I. Film and Transition Boiling Correlations for Quenching of Hot Surfaces with Water Sprays. J. Heat Transfer. 1992. 9. pp. 91-103. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02833145
Kotrbáček P., Chabičovský M., Kominek J., Resl O., Bellerova H. Influence of water temperature on spray cooling at high surface temperatures. Applied Thermal Engineering. 2022, 216, 119074. DOI: https://doi.org/10.1016/j.applthermaleng.2022.119074
Kotrbacek P., Bellerova H., Luks T., Raudensky M. Heat Transfer Correlations for Secondary Cooling in Continuous Casting. Steel Research Int. 2020. 2000465. DOI: https://doi.org/10.1002/srin.202000465
Wendelstorf J., Wendelstorf R., Spitzer K.-H. Spray Cooling Heat Transfer and Calculation of Water Impact Density for Cooling of Steel Sheet Materials by Inverse Process Modelling: Steel Res. Int. 2009. 9 (80). pp. 639-644. DOI: https://doi.org/10.2374/SRI09SP054
Beygelzimer E., Beygelzimer Y. Generalized estimates for thermal expansion of oxide scale in the range from 0 ºC to 1300 ºC with account for movability of phase transitions in its component. 2021. https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/2110/2110.08528.pdf
Beygelzimer E., Beygelzimer Y. Heat capacity of oxide scale in the range from 0 °C to 1300 °C: Generalized estimates with account for movability of phase transitions. 2021. https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/2110/2110.11101.pdf
Bharadwaj R., Sarkar A., Rakshe B. Effect of Cooling Rate on Phase Transformation Kinetics and Microstructure of Nb–Ti Microalloyed Low Carbon HSLA Steel. Metallogr. Microstruct. Anal. 2022. DOI: https://doi.org/10.1007/s13632-022-00864-9
Lyaschenko M.Ya., Golovan M.S. Numerical Methods. Kyiv: Lybid. 1996. 287 p.
Ram Babu Saksena. Engineering Mathematics III: For UPTU. India: Pearson Education. 2010. 556 p.
Singh Ashok K., Bhadauria B.S. Finite Difference Formulae for Unequal Sub-Intervals Using Lagrange’s Interpolation Formula. Int. J. Math. Anal. 2009. 3 (17). pp. 815–827.
Lanczos C. Applied Analysis. Moscow: State Publishing House of Physical and Mathematical Literature. 1961. 524 p. (in Russian).
Ostapenko A.L.; Beygelzimer E.E.; Kozlenko D.A.; Gritsenko S.A.; Goncharov N.V. Sheet cooling in a roller quenching machine. Steel Transl. 2016. 46. pp. 349–355. DOI: https://doi.org/10.3103/S0967091216050119
